Question

15．已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么cosB的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 求出△ACD与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{AC}{3}$=$\frac{1}{AC}$，
解得AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
所以，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了锐角三角函数，相似三角线的判定与性质，勾股定理，难点在于判断出相似三角线并求出AC的长，作出图形更形象直观．