Question

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），A（1，0），B（0，

3

）．若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．求点P的坐标，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：根据点A、B、C的坐标求出OA、OB、OC的长，利用勾股定理列式求出AB，∠OAB=60°，∠OCB=30°，然后求出∠ABC=90°，然后分①BP和OA是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP，若点P在点B的左边，过点P作PD⊥x轴于D，然后求出∠PAD=∠PAB=30°，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=BP，再求出AD=AB，然后求出OD，即可写出点P的坐标；若点P在点B的右边，求出PA⊥x轴，利用勾股定理列式求出AP，即可写出点P的坐标；②BP和OB是对应边时，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP，过点P作PE⊥x轴于E，然后求出∠PAB=∠PAE=60°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PB，再求出AE=AB，然后求出OE，写出点P的坐标即可；③点P与点C重合时也是符合要求的点．

解答：解：∵A（1，0），B（0，

3

），C（-3，0），
∴OA=1，OB=

3

，OC=3，
∴AB=

12+ 3 2

=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

3

，tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，
∴∠OAB=60°，∠OCB=30°，
∴∠ABC=180°-∠OAB-∠OCB=180°-60°-30°=90°，
①BP和OA是对应边时，△PBA∽△AOB，
∴

BP

OA

=

AB

OB

，
即

BP

1

=

2

3

，
解得BP=

2 3

3

，
如图，若点P在点B的左边，过点P作PD⊥x轴于D，
∵△PBA∽△AOB，
∴∠PAB=∠ABO=30°，
∴∠PAD=∠OAB-∠PAB=60°-30°=30°，
∴∠PAD=∠PAB=30°，
∴PD=BP=

2 3

3

，AD=AB=2，
∴OD=AD-OA=2-1=1，
此时，点P₁（-1，

2 3

3

）；
若点P在点B的右边，则∠OAP=∠OAB+∠PAB=60°+30°=90°，
∴PA⊥x轴，
由勾股定理得，AP=

AB2+BP2

=

22+( 2 3 3 )2

=

4 3

3

，
此时，点P₂（1，

4 3

3

）；
②BP和OB是对应边时，△ABP∽△AOB，
∴

AB

OA

=

BP

OB

，
即

2

1

=

BP

3

，
解得BP=2

3

，
过点P作PE⊥x轴于E，
∵△ABP∽△OAB，
∴∠PAB=∠BAO=60°，
∴∠PAE=180°-60°×2=60°，
∴∠PAB=∠PAE=60°，
∴PE=PB=2

3

，AE=AB=2，
∴OE=OA+AE=1+2=3，
此时，点P₃（3，2

3

），
③点P与点C重合时，△ABP∽△OAB，
此时，点P₄（-3，0），
综上所述，点P₁（-1，

2 3

3

），P₂（1，

4 3

3

），P₃（3，2

3

），P₄（-3，0）时，以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似．

点评：本题是一次函数综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论．