Question

7．如图，已知菱形ABCD，点P，Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ，
（1）求证：BP=DQ；
（2）如图1，当∠ABC=90°时，点P，Q在线段BD上时，求证：BP+BQ=$\sqrt{2}$BA；
（3）如图2，当∠ABC=60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP，BQ，BA之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质证明△ABP≌CDQ即可；
（2）证明菱形ABCD为正方形，得到BD=$\sqrt{2}$BA，得到答案；
（3）连接AC交BD于点H，证明BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，又BP=DQ，得到答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AP∥CQ，
∴∠APD=∠CQB，
∴∠APB=∠CQD，
在△ABP和CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠CQD}\\{∠ABP=∠CDQ}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌CDQ，
∴BP=DQ．
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴在RT△ABD中，BD=$\frac{BA}{cos45°}$=$\sqrt{2}$BA，
由（1）得  BP=DQ，
∴BP+BQ=DQ+BQ=BD，
∴BP+BQ=$\sqrt{2}$BA．
（3）BP、BQ、BA之间的数量关系BQ-BP=$\sqrt{3}$BA，
理由如下：连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，∠AHB=90°，BD=2BH，
∴BH=AB•cos∠ABH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BA，
由（1）得，BP=DQ，
∴BQ-BP=BQ-DQ=BD=$\sqrt{3}$BA．

点评 本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直和锐角三角函数的概念是解题的关键，注意确定三角形的性质和判定的灵活运用．