题目内容
9．
如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①BG⊥DE；②$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；③△BCG∽△EFO；④${（a-b）^2}•{S_{△EFO}}={b^2}•{S_{△DGO}}$．其中正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
分析 延长BG交DE于点H由四边形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通过△BCG≌△DCE，可证得①正确；由EF∥CD，证得△DGO∽△DCE，可得$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，而不是$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，②错误；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到△BCG∽△EFO，故③正确；根据△EFO∽△DGO，即可得到结果（a-b）2S△EFO=b2S△DGO，故④正确．
解答 证明：延长BG交DE于点H．
∵四边形ABCD、CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴∠BCG=DHG=90°，
即BG⊥DE，故①正确；
∵EF∥CD，
∴∠GDE=∠FEO，
∵∠F═∠DCE=90°，
∴△DGO∽△DCE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，而不是$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
∴故②错误；
∵∠F=∠BCD=90°，
∠CBG=∠CDE=∠FEO，
∴△BCG∽△EFO，故③正确；
∵△EFO∽△DGO，
∴$\frac{{S}_{△EFO}}{{S}_{△DGO}}$=${（\frac{EF}{DG}）}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{（a-b）}^{2}}$，
∴（a-b）2S△EFO=b2S△DGO，故④正确．
故答案为：①③④．
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
黄冈创优卷系列答案
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=72°，现平行移动腰AB至DE后，再将△DCE沿DE折叠，得△DC′E，则∠EDC′的度数是（ ）| A． | 72° | B． | 54° | C． | 36° | D． | 30° |
如图，已知△ABC，AB=AC，以边AC为直径作⊙O，BC与圆交于点D，过D作DE⊥AB于E．| A． | $\left\{\begin{array}{l}x=2y+1\\ y=3-z\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}xy=12\\ x+y=7\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\ 3x-2y=4\end{array}\right.$ |
| A． | 1，2 | B． | 1，3 | C． | 5，1 | D． | 2，4 |
| A． | （a5）2=a10 | B． | b2+b2=2b2 | C． | b•b5=b6 | D． | b5•b5=b25 |