Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④。其中正确的结论有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；

③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

解：如图：

根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，

∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故②正确；
∴∠ADC=60°，故③正确；
∵∠CAD=30°，

∵AD=DB，

∴

故④正确。

故选：D．