Question

3．已知菱形ABCD，点P是对角线AC所在的直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想①PE与PB有怎样的关系？②∠BPE与∠BCD有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AB=AD，∠BAP=∠DAP，根据全等三角形的判定得到△BAP≌△DAP，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）由（1）的结论得到PB=PD，∠APD=∠APB，证明△BPC≌△DPC，得到∠PBC=∠PDC，根据四点共圆证明结论即可．

解答 解：（1）①PE=PB，②∠BPE+∠BCD=180°，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=D}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED，又∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°；
（2）由（1）得△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠APD=∠APB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
在△BPC和△DPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PB}\\{∠APB=∠APD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PD，
∴∠PDC=∠PEC，
∴∠PBC=∠PEC，
∴B、C、P、E四点共圆，
∴∠BPE=∠BCE，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°．

点评 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角是解题的关键，注意类比思想的应用．