Question

12．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．
（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．
①试说明∠PCM=∠NCM的理由；
②求证：MN²=AM²+BN²；
（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，根据SAS证得△MCP≌△MCN，得出MP=MN，再根据∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，运用勾股定理得出Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，进而得到MN²=AM²+BM²；
（2）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，得出∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，根据SAS证得△MCP△MCN，进而得出MP=MN，再根据∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，得到∠PAM=90°，在Rt△APM中，根据勾股定理得到PM²=AM²+AP²，进而得出MN²=AM²+BM²．．

解答 解：（1）①如图2，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则
∠BCN=∠ACP，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠MCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACP+∠ACM=45°，
∴∠PCM=∠NCM；
②证明：由旋转可得△CAP≌△CBN，
∴AP=BN，PC=NC，∠CAP=∠B=45°，
在△MCP和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=NC}\\{∠PCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCP≌△MCN（SAS），
∴MP=MN，
∵∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，
∴Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，
∴MN²=AM²+BM²；

（2）MN²=AM²+BM²，
理由：如图，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则
∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠PCM=90°-45°=45°，
∴∠PCM=∠NCP，
在△MCP和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=NC}\\{∠PCM=∠NCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△MCP△MCN（SAS），
∴MP=MN，
∵∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，
∴∠PAM=90°，
∴Rt△APM中，PM²=AM²+AP²，
∴MN²=AM²+BM²．

点评 此题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质的综合应用．解题的关键是运用：旋转前、后的图形全等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．