Question

2．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDF=90°，则四边形AEDF的面积为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，得出四边形BCJG是矩形，再判定△BAG≌△AEH，△CJD≌△DIF，最后根据四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积，进行计算即可．

解答 解：延长AD，过B作BG⊥AD于G，过E作EH⊥AD于H，过F作FI⊥AD于I，过C作CJ⊥AD于J，则四边形BCJG是矩形
∴∠EHA=∠G=90°
∵△ABE是等腰直角三角形
∴AE=BA，∠EAB=90°
∴∠BAG+∠EAH=∠AEH+∠EAH=90°
∴∠BAG=∠AEH
在△BAG和△AEH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠AEH}\\{∠EHA=∠G}\\{AE=BA}\end{array}\right.$
∴△BAG≌△AEH（AAS）
∴AG=EH
同理可得，△CJD≌△DIF
∴DJ=FI
∵四边形AEDF的面积
=△ADE的面积+△ADF的面积
=$\frac{1}{2}$×AD×EH+$\frac{1}{2}$×AD×FI
=$\frac{1}{2}$×AD×（EH+FI）
=$\frac{1}{2}$×AD×（AG+DJ）
=$\frac{1}{2}$×AD×（JG-AD）
=$\frac{1}{2}$×AD×（BC-AD）
=$\frac{1}{2}$×2×（5-2）
=3
故选（B）

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形以及全等三角形．解题时注意：四边形AEDF的面积=△ADE的面积+△ADF的面积．