题目内容

阅读材料并回答问题：

棋盘上的学问

古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋(如图)献给了国王，国王从此迷上了下棋．为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧．第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒，16粒，32粒，…，一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”

你认为国王的国库里有这么多米吗？

答案：
解析：

　　解：由题意得总粒数是1＋2¹＋2²＋…＋2⁶³粒．

　　设S＝1＋2¹＋2²＋…＋2⁶³．①

　　则2S＝2＋2²＋…＋2⁶³＋2⁶⁴．②

　　②－①得

　　(2＋2²＋…＋2⁶³＋2⁶⁴)－(1＋2¹＋2²＋…＋2⁶³)＝2⁶⁴－1

　　＝18 446 744 073 709 551 615(粒)．

　　所以国王的国库里没有这么多米．

　　精析：由大臣放米粒的方法可知第1格放1粒米，第2格放2＝2¹粒米，第3格放4＝2²粒米，第4格放8＝2³粒米，然后是16＝2⁴粒，32＝2⁵粒，…，一直到2⁶³粒米．由此可得总粒数为1＋2¹＋2²＋…＋2⁶³粒米．

提示：

本题直接计算比较繁琐，采用把原式扩大2倍再减原式的方法较简便．

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25、阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．

（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：

（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²

；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．

阅读材料并回答问题：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根为x₁=1，x₂=-

．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根为x₁=

（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是

；
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程x²-2x-1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁+x₂=

，x₁•x₂=

；
②方程x²-3x+1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁²+x₂²=

；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根．

阅读材料并回答问题：
材料：若a=

，比较a、b的大小．
解：∵a=

(2008-1)(2008+1)

，
又∵2008²-1²＜2008²，且分母相同，
∴a＜b．
问题：（1）填空：

（填＞、=、＜号）
（2）当n＞0时，类比上面的方法，比较

阅读材料并回答问题：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根为x₁=1，x₂=- $数学公式$ ，x₁+x₂=- $数学公式$ ，x₁x₂=- $数学公式$ ．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根为x₁= $数学公式$ ，x₂= $数学公式$ ，
x₁+x₂=，x₁x₂=
（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是；
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程x²-2x-1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁+x₂=，x₁•x₂=；
②方程x²-3x+1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁²+x₂²=；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根．

阅读材料并回答问题：
材料：若a= $数学公式$ ，b= $数学公式$ ，比较a、b的大小．
解：∵a= $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ，
b= $数学公式$ = $数学公式$ ，
又∵2008²-1²＜2008²，且分母相同，
∴a＜b．
问题：（1）填空： $数学公式$ ______ $数学公式$ （填＞、=、＜号）
（2）当n＞0时，类比上面的方法，比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小．