Question

如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A′B′C′D′E′．
（1）图中5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一个五边形吗？说明理由；
（2）证明五边形A′B′C′D′E′的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位．

Answer 1

考点：平移的性质,多边形内角与外角

专题：计算题

分析：（1）根据平移的性质得BF=AG=AH=EJ=EK=DL=DM=CN=CO=BP=4，再根据四边形的内角和得到∠A′+∠GAH=180°，∠B′+∠PBF=180°，∠C′+∠NCO=180°，∠D′+∠MDL=180°，∠E′+∠KEJ=180°，根据五边形内角和得∠A′+∠B′+∠C′+∠D′+∠E′=（5-2）×180°=3×180°，则∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=360°，于是可判断5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一个五边；
（2）先计算出平移前后两和五边形的周长之差为A′H+A′G+B′F+B′P+C′O+C′N+D′M+D′L+E′K+E′J，此周长的差恰好为5块阴影部分所拼成一个五边形的周长，由于5块阴影部分所拼成五边形有一个半径为4的内切圆，所以此五边形的周长大于内切圆的周长，即此五边形的周长＞8π＞8×3.14＞25，
所以五边形A′B′C′D′E′的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位．

解答：（1）解：5块阴影部分能拼成一个五边形．理由如下：
∵五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，
∴BF=AG=AH=EJ=EK=DL=DM=CN=CO=BP=4，
∠A′+∠GAH=180°，∠B′+∠PBF=180°，∠C′+∠NCO=180°，∠D′+∠MDL=180°，∠E′+∠KEJ=180°，
而∠A′+∠B′+∠C′+∠D′+∠E′=（5-2）×180°=3×180°，
∴∠GAH+∠PBF+∠NCO+∠MDL+∠KEJ=2×180°=360°，
∴5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I能拼成一个五边；
（2）证明：∵五边形A′B′C′D′E′的周长-五边形ABCD正的周长=A′H+A′G+B′F+B′P+C′O+C′N+D′M+D′L+E′K+E′J，
∴它们的周长的差为5块阴影部分即四边形AHA′G、BFB′P、COC′N、DMD′L、EKE′I所拼成一个五边形的周长，
∵5块阴影部分所拼成五边形有一个半径为4的内切圆，
∴此五边形的周长＞2π•4=8π，即此五边形的周长＞8×3.14＞25，
∴五边形A′B′C′D′E′的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位．

点评：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．