Question

如图，圆心在坐标原点的⊙O的半径为1，若抛物线y=-x²+c和⊙O刚好有三个公共点，则此时c=

 

．若抛物线和⊙O只有两个公共点，则c可以取的一切值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：若抛物线y=-x²+c和⊙O刚好有三个公共点，则公共点为A、B、C，由图可知此时c=1；若抛物线和⊙O只有两个公共点，则有两种情况：①-1＜c＜1；②抛物线与圆相切．

解答：解：若抛物线y=-x²+c和⊙O刚好有三个公共点，则公共点为A、B、C，由图可知此时c=1；
若抛物线和⊙O只有两个公共点，则有两种情况：
①-1＜c＜1；
②抛物线与圆相切，
由x²+y²=1，得-x²=y²-1①，
将①代入y=-x²+c，得y=y²-1+c，
整理得y²-y-1+c=0，
∵抛物线和⊙O的两个公共点关于y轴对称，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△=1-4（-1+c）=0，
解得c=

5

4

．
故答案为1；-1＜c＜1或c=

5

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质，难度适中．利用数形结合及抛物线的对称性是解题的关键．