Question

阅读理

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

…

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

阅读以上信息，完成下列问题：
（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=______；（填最后结果）
（2）

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

=______；（填最后结果）
（3）求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

x(x+1)

的值．

Answer 1

（1）∵

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，…

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

∴原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
故答案为：

3

4

；

（2）∵

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

，
∴原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

=

1

x

-

1

x+3

=

3

x(x+3)

；

（3）∵

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
…

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

，
∴原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

x

-

1

x+1

=1-

1

x+1

=

x

x+1

．