在坐标平面内.如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴.且有一条对角线恰好平分另一条对角线.则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“箏状四边形．(1)已知箏状四边形ABCD的三个顶点坐标为A.则顶点D的坐标为多少．(2)如果箏状四边形ABCD的三个顶点坐标为A.C.则顶点D纵坐标y的取值范围为多少．(3)已知面积为30的箏状四边形ABCD相邻� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“箏状四边形”．
（1）已知箏状四边形ABCD的三个顶点坐标为A（3，2），B（5，1），C（8，2），则顶点D的坐标为多少．
（2）如果箏状四边形ABCD的三个顶点坐标为A（-6，-3），B（-4，-6），C（-2，-3），则顶点D纵坐标y的取值范围为多少．
（3）已知面积为30的箏状四边形ABCD相邻两个顶点的坐标分别为A（3，1），B（6，3），其中一条对角线长为6，M，N分别是AB，BC的中点，P为对角线上一动点，连结MN，MP，NP，试求△MNP周长的最小值．

分析（1）根据“箏状四边形”的定义即可求出点D坐标．
（2）画出图形，即可判定点D的纵坐标y的取值范围．
（3）分两种情形讨论①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．②当点P在对角线BD上时，△PMN的周长的最小值不存在．

解答解：（1）如图1中，

由题意AC垂直平分线段线段BD，可知B、D关于直线AC对称，
∵A（3，2），B（5，1），C（8，2），
∴D（5，3）．

（2）如图2中，

由题意可知，BD垂直平分线段AC，
∵四边形ABCD是凸四边形，A（-6，-3），B（-4，-6），C（-2，-3），
∴顶点D纵坐标y的取值范围：y＞-3．

（3）如图3中，

①当点P在对角线AC上时，作点M关于AC的对称点K，连接KN交AC于点P，此时△PMN的周长最小．
由题意A（3，1），B（6，3），
∵对角线BD=6，
∴D（0，3），
∵$\frac{1}{2}$×6×AC=30，
∴AC=10，
∴C（3，11），
∴M（4.5，2），N（4.5，7），K（1.5，2）
∴MN=5，KN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
△PMN的周长的最小值为$\sqrt{34}$+5．
②当M，N分别是AB，BC′的中点，P′为对角线AC′上一动点，同法可求△P′M′N′周长的最小值为3+$\sqrt{13}$．
∴△PMN的周长的最小值问题$\sqrt{34}$+5或3+$\sqrt{13}$．