Question

20．已知一元二次方程x²-2x+m=0
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁和x₂，且x₁+3x₂=3，求m的值．
（3）若方程的两个实数根为x₁和x₂，且x₁²-x₂²=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）一元二次方程x²-2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；
（2）利用两根关系，已知x₁+x₂=2结合x₁+3x₂=3，先求x₁、x₂，再求m；
（3）由x₁²-x₂²=0，利用平方差公式以及x₁+x₂=2可得x₁-x₂=0，则方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，△=（-2）²-4m=0，即可求出m=1．

解答 解：（1）∵方程x²-2x+m=0有两个实数根，
∴△=（-2）²-4m≥0，
解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}+3{x}_{2}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴m=x₁•x₂=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$；

（3）∵x₁²-x₂²=0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∵x₁+x₂=2≠0，
∴x₁-x₂=0，
∴方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）²-4m=0，
解得m=1．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的情况与判别式△的关系．