Question

3．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E、F在AC上，∠EBF=45°，若AE=1，CF=2，则AB的长为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH．连接FH．只要证明△FBH≌△FBE，再证明∠FCH=90°，求出FH即可解决问题．

解答 解：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH．连接FH．

∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE=∠CBH，
∴∠CBH+∠CBF=45°，
∴∠FBH=∠FBE=45°，
在△FBH和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FB}\\{∠FBH=∠FBE}\\{BH=BE}\end{array}\right.$，
∴△FBH≌△FBE，
∴FH=EF，
∵∠BCF=∠BCH=45°，
∴∠FCH=90°，
∴EF=FH=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=3+$\sqrt{5}$，
∴AB=AC•cos45°=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，
故答案为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

点评 本题考查了图形的旋转，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．