Question

直角三角形ABC中，直角边AB上有一点M，斜边BC上有一点P，已知MP⊥BC，△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米，那么直角三角形ABC的面积是    平方厘米．

Answer 1

【答案】分析：由已知条件易知∠BPM=∠BAC=90°，结合∠B时公共角，易证△MBP∽△CBA，而已知△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，那么S_△MBP：S_△CBA=1：3，于是===1：，利用比例计算可求AB、BM，在△BPM中，利用勾股定理可求PM，从而可求PM，于是就可求S_△BPM，也就易求S_△ABC．
解答：解：∵MP⊥BC，△ABC是直角三角形，
∴∠BPM=∠BAC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△MBP∽△CBA，
又∵△BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，
∴S_△MBP：S_△CBA=1：3，
∴===1：，
∴AB=2，BM=，
∴PM==，
∴S_△BPM=BP•PM=，
∴S_△ABC=．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、比例的计算、三角形面积的计算．相似三角形面积比等于相似比的平方．