Question

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．点P、Q分别是BC边和AB边上的动点，点P从点C向点B运动，点Q从点A向点B运动，QR⊥BC，垂足为R，设P、Q同时运动，并且当P运动4x单位长度时，Q运动5（1-x）单位长度．是否存在x的值，使以P、Q、R为顶点的三角形与△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定与性质，当若点P，R，Q分别与点P，C，A对应，当若点P，R，Q分别与点A，C，P对应，分别分析得出x的长度即可．

解答：解：存在x的值，使以P，Q，R为顶点的三角形与△ACP相似．
∵BQ=5x，有相似三角形求得：BR=4x，QR=3x，
①当P在C，R之间时，PR=4-8x，
若△PRQ∽△ACP，则PR：AC=RQ：CP，
即：

4-8x

3

=

3x

4x

，
∴x=

7

32

，
若△QRP∽△ACP，则QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

4-8x

4x

，
∴x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍），
②当P在B，R之间时，PR=8x-4，
若△PRQ∽△ACP，则PR：AC=RQ：CP，
即：

8x-4

3

=

3x

4x

，
∴x=

25

32

，
若△QRP∽△ACP，则QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

8x-4

4x

，
∴x₁=x₂=1（舍）
综上所述：存在x的值，x₁=

2

-1，x₂=

7

32

，x₃=

25

32

．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P和R点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键．