Question

7．如图，BM、CN分别是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．

Answer 1

分析 结论：AQ=AP，AQ⊥AP．易证∠ABP=∠ACQ，即可求证△ACQ≌△PBA，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AP=AQ，再根据全等三角形对应角相等即可求得AP⊥AQ．

解答 解：∵∠ABP+∠BAM=90°，∠ACQ+∠CAN=90°，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ACQ和△PBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=AC}\\{∠ABP=∠ACP}\\{AB=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP=AQ，∠Q=∠PAB，
∵∠PAB+∠ADN=90°，
∴∠ADN+∠Q=90°，
∴∠QAP=90°
∴AP⊥AQ．
∴AP=AQ，AP⊥AQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACQ≌△PBA是解题的关键．