Question

如图，将一块直角三角形的直角顶点放在C（1，

1

2

）处，两直角边分别与x，y轴平行，两个顶点A，B恰好是直线y=kx+b与双曲线y=

m

x

（m＞0）的交点，且AC=3

1

2

；
（1）直接写出点A的坐标；
（2）求直线和双曲线的表达式；
（3）设双曲线y=

m

x

（m＞0）在A，B之间的图象部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=

1

2

AB？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据点C的坐标以及AC=3

1

2

，直接写出点A的坐标；
（2）将点A的坐标代入双曲线，求出m的值，然后根据已知可得设点B（a，

1

2

），将点B坐标代入解析式，求出a的值，然后将点A和点B的坐标代入y=kx+b，求出解析式；
（3）用反证法证明．假设存在，运用一元二次方程判别式即可解出．

解答：解：（1）∵C（1，

1

2

），AC=3

1

2

，
∴点A坐标为：（1，4）；
（2）将点A坐标代入双曲线y=

m

x

（m＞0）得，m=4，
则反比例函数解析式为：y=

4

x

，
设点B为（a，

1

2

），
代入y=

4

x

得：

4

a

=

1

2

，
解得：a=8，
则点B坐标为（8，

1

2

），
将点A、B坐标代入y=kx+b得：

k+b=4 8k+b= 1 2

，
解得：

k=- 1 2 b= 9 2

．
则一次函数的解析式为：y=-

1

2

x+

9

2

；
（3）假设存在点P使得MN=

1

2

AB．
∵AC∥y轴，MP∥y轴，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽Rt△MPN，
∴

MP

AC

=

MN

AB

=

1

2

，
设点P坐标为P（x，

4

x

）（1＜x＜8），
∴M点坐标为M（x，-

1

2

x+

9

2

），
∴MP=-

1

2

x+

9

2

-

4

x

．
又∵AC=4-

1

2

=

7

2

，
∴-

1

2

x+

9

2

-

4

x

=

7

4

，
即2x²-11x+16=0，
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在点P使得MN=

1

2

AB．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及了反比例函数的性质及坐标意义，难度较大．根据题意求出A、B两点的坐标，代入求出解析式是解答此题的关键．解答此题时同学们要注意运用数形结合的思想．