Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是

AC

的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，连接BD交AC于G，下列结论：①AF=DF；②DE=

1

2

AC；③CG=FG；④OF=

1

2

BG．
其中正确的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连结AD、CD、BC，DE交⊙O于Q，如图，根据垂径定理，由DE⊥AB得

AD

=

AQ

，加上

AD

=

CD

，则

AQ

=

CD

，于是根据圆周角定理得到∠ADQ=∠DAC，所以AF=DF；由

AD

=

CD

=

AQ

得到

AC

=

AQ

，根据圆心角、弧、弦的关系得AC=AQ，再根据垂径定理由DE⊥AB得DE=QE，所以DE=

1

2

AC；根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=∠ACB=90°，然后证明∠1=∠2得到FD=FG，加上FA=FD，所以FA=FG，接着在△ADF和△CDG中，∠DAF=∠DCG，DA=DC，假设CG=FG，则AF=CG，则可判断△ADF≌△CDG，而△ADF为等腰三角形，所以△DCG也为等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，所以点C为BD弧的中点，即C、D为半圆的三等分点，这与题设不符，所以CG与FG不能确定相等；然后证明OF为△ABG的中位线，即可得到OF=

1

2

BG．

解答：解：连结AD、CD、BC，DE交⊙O于Q，如图，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AQ

，
∵D是

AC

的中点，
∴

AD

=

CD

，
∴

AQ

=

CD

∴∠ADQ=∠DAC，
∴AF=DF，所以①正确；
∵

AD

=

CD

=

AQ

，
∴

AC

=

AQ

，
∴AC=AQ，
∵DE⊥AB，
∴DE=QE，
∴DE=

1

2

DQ，
∴DE=

1

2

AC，所以②正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠2+∠ADQ=90°，∠3+∠4=90°，
而∠3=∠1，∠4=∠ADQ，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG，
而FA=FD，
∴FA=FG，
在△ADF和△CDG中，
∠DAF=∠DCG，DA=DC，
若CG=FG，则AF=CG，则可判断△ADF≌△CDG，
而△ADF为等腰三角形，所以△DCG也为等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，
所以点C为BD弧的中点，即C、D为半圆的三等分点，这与题设不符，
所以CG与FG不能确定相等，所以③错误；
∵AF=FG，OA=OB，
∴OF为△ABG的中位线，
∴OF=

1

2

BG，所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的性质．