Question

【题目】阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“共同体直线”，例如，直线y＝x+4与直线y＝4x+l互为“共同体直线”．

材料二：对于半面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2之两点间的直角距离d1（P1，p2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|：例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2.4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8； P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做Po到直线y＝ax+b的直角距离．

（1）计算S（﹣2，6），T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　，直线y＝4x+3上的一点H（a，b）又是它的“共同体直线”上的点，求点H的坐标．

（2）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“共同体直线”上，试求点L（10，﹣）到直线y＝ax+b的直角距离．

Answer 1

【答案】（1）d（S，T）＝7，H（1，7）；（2）10．

【解析】

（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；求两条直线的交点即可求H点的坐标；

（2）先表示直线y＝ax+b的“共同体直线”，并将点M和N分别代入可得方程组，得：（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，对于任意一点M（m，n）等式均成立，求出a，b的值，再根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．

解：（1）∵S（﹣2，6）、T（1，3）则S、T两点的直角距离为d（S，T）＝|﹣2﹣1|+|6﹣3|＝7，

∴S（﹣2，6）、T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝7．

直线y＝4x+3的“共同体直线”是y＝3x+4，由题意知H是它们的交点，则有：，

解得，

∴点H的坐标为：H（1，7）；

（2）∵点M（m，n）是直线y＝ax+b上的任意一点，

∴am+b＝n①，

∵点N（3m，2m﹣3n）是直线y＝ax+b的“共同体直线”上的一点，

即N（3m，2m﹣3n）在直线y＝bx+a上

∴3bm+a＝2m﹣3n②，

将①代入②得，3bm+a＝2m﹣3（am+b），

整理得：3bm+3am﹣2m＝﹣a﹣3b，

∴（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，

∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，

∴，

解得，

．

是直线上的动点，定点

，

，，

当时，代数式有最小值10，

点到直线的直角距离是10．