Question

3．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，
（1）∠MAC=30°，∠MCA=60°；
（2）请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求MN的长．

Answer 1

分析 （1）作MT∥AB，根据平行线的性质及方向角的定义得出∠5=∠2=30°，∠TMC=∠1=60°，那么∠AMC=30°+60°=90°．在Rt△ACM中，根据方向角的定义及角的和差得出∠3=∠BAC-∠2=30°，即∠MAC=30°，再由直角三角形两锐角互余求出∠MCA=60°；
（2）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，先解Rt△ACM，求出CM=$\frac{1}{2}$AC=1000米，再解Rt△NCM，求出CN=$\frac{1}{2}$CM=500米，MN=$\sqrt{3}$CN=500$\sqrt{3}$米．

解答 解：（1）作MT∥AB．
根据题意，得∠2=30°，∠BAC=60°，AC=2000米，∠1=60°．
∵MT∥AB，
∴∠5=∠2=30°，∠TMC=∠1=60°，
∴∠AMC=30°+60°=90°．
在Rt△ACM中，∵∠3=∠BAC-∠2=60°-30°=30°，
即∠MAC=30°，
∴∠MCA=90°-∠3=60°；

（2）过M作MN⊥AC，垂足为N，此时MN最小．
在Rt△ACM中，∵∠3=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=1000米，
在Rt△NCM中，∵∠CMN=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$CM=500米，MN=$\sqrt{3}$CN=500$\sqrt{3}$米．
故答案为30°，60°．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，其中涉及到平行线的性质，方向角的定义，直角三角形的性质，垂线段最短的性质，含30度角的直角三角形三边的关系等知识，难度不大．正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．