Question

19．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD-∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=15°，∠PEB=30°，求∠N的度数．

Answer 1

分析 （1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
（2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
（3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可．

解答 解：（1）作PH∥AB，又AB∥CD，
则PH∥CD，
∴∠PFD=∠MPH，∠AEM=∠HPM，
∵∠MPN=90°，
∴∠PFD+∠AEM=90°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠PFD=∠PHB，
∵∠PHB-∠PEB=90°，∠PEB=∠AEM，
∴∠PFD-∠AEM=90°；
（3）由（2）得，∠PFD=90°+∠PEH=120°，
∴∠N=180°-∠DON-∠PFD=45°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助性是解题的关键．