Question

【题目】如图，MN是⊙O的直径，MN=2a，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA+PB的最小值为_____．（用含a的代数式表示）

Answer 1

【答案】a

【解析】作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于P，如图，

则PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′=AB′，

∴此时PA+PB的值最小，

∵∠AMN=40°，

∴∠AON=80°，

∵点B为弧AN的中点，

∴∠BON=∠AON=40°，

∵B点关于MN的对称点B′，

∴∠B′ON=40°，

∴∠AOB′=120°，

作OH⊥AB′于H，如图，则AH=B′H，

在Rt△AOH中，∠A=30°，

∴OH=OA=a，

∴AH=OH=a，

∴AB′=2AH=a，

即 PA+PB的最小值为a．

故答案为： a．