Question

4．感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF．
拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．
应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为8．

Answer 1

分析 感知：利用AAS证明△ADG≌△BAF；
拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；
应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．

解答 解：感知：
∵AB⊥AD，BF⊥AF，DG⊥AF，
∴∠DGA=∠BFA=∠DAB=90°，
∴∠DAG+∠FAB=90°，．
∠B+∠FAB=90°，
∴∠B=∠DAG，
在△ADG和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAG}\\{∠AFB=∠DGA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△BAF．
拓展：如图②，

：∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFC}\\{∠ABE=∠4}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应用如图③，

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，
∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为12，
∴△ABD与△ADC面积分别为：4，8；
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFC}\\{∠ABE=∠4}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，
∴△ABE与△CDF的面积之和为8，
故答案为：8．

点评 此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．