Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，（AD＜BC），AB⊥BC，AB=BC=12，点E在AB边上，连接CE，DE，若∠DCE=45°，DE=10，则线段BE的长为

 

．

Answer 1

考点：直角梯形

专题：

分析：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，可得四边形ABCF是正方形，将△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△FCG，根据旋转的性质得CE=CG，BE=FG，∠BCE=∠FCG，然后求出∠DCG=∠DCE=45°，再利用“边角边”证明△CDE和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DG，设BE=x，表示出AE、DF、AD，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC，
∴四边形ABCF是正方形，
∴CF=BC，
将△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△FCG，
由旋转的性质得，CE=CG，BE=FG，∠BCE=∠FCG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG=∠DCE=45°，
在△CDE和△CDG中，

CE=CG ∠DCG=∠DCE CD=CD

，
∴△CDE≌△CDG（SAS），
∴DE=DG，
设BE=x，则AE=12-x，DF=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，
在Rt△ADE中，AE²+AD²=DE²，
∴（12-x）²+（2+x）²=10²，
整理得，x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6，
所以线段BE的长为4或6．
故答案为：4或6．

点评：本题考查了直角梯形，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线构造出全等三角形并利用勾股定理列出方程．