Question

9．如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．

Answer 1

分析 首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．