Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，当线段AB与坐标轴不垂直时，以线段AB为斜边作Rt△ABC，且边BC⊥x轴，则称AC+BC的值为线段AB的直角距离，记作L（AB）；当线段AB与坐标轴垂直时，线段AB的直角距离不存在．

（1）在平面直角坐标系中，A（1，4），B（4，2），求L（AB）．

（2）在平面直角坐标系中，点A与坐标原点重合，点B（x，y），且L（AB）＝2．

①当点B（x，y）在第一象限时，易知AC＝x，BC＝y．由AC+BC＝L（AB），可得y与x之间的函数关系式为　 　，其中x的取值范围是　 　，在图②中画出这个函数的图象．

②请模仿①的思考过程，分别探究点B在其它象限的情形，仍然在图②中分别画出点B在二、三、四象限时，y与x的函数图象．（不要求写出探究过程）

（3）在平面直角坐标系中，点A（1，1），在抛物线y＝a（x﹣h）2+5上存在点B，使得2≤L（AB）≤4．

①当a＝﹣时，直接写出h的取值范围．

②当h＝0，且△ABC是等腰直角三角形时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①y＝－x+2，0＜x＜2，图象详见解析；②y＝x+2或y＝－x－2或y＝x－2，图象详见解析；（3）①或或或；②或．

【解析】

（1）根据定义直接计算即可；

（2）①由A(0，0)，B(x，y)，且点B(x，y)在第一象限，L(AB)＝2，易得：x+y＝2，从而得到答案；

②根据点A、B坐标及点B所在象限，L(AB)＝2，分象限讨论即可得出答案画出图形；

（3）①先求出特殊情况时对应的h，令－(x－h)2+5＝1，得x＝h+4或x＝h－4，再分情况讨论，构建不等式解决问题即可；

②由是等腰直角三角形，且2≤L(AB)≤4，利用特殊点，分别求解即可．

解：（1）∵A(1，4)，B(4，2)，

∴L(AB)＝AC+BC＝（4－1）+（4－2）＝5；

（2）①∵A(0，0)，B(x，y)，且点B在第一象限，L(AB)＝2，

∴x+y＝2，

∴y＝－x+2，（0＜x＜2），图象如图所示；

故答案为：y＝－x+2，0＜x＜2；

②当B在第二象限时，－x+y＝2，

∴y＝x+2，图象如图所示；

当B在第三象限时，－x－y＝2，

∴y＝－x－2，图象如图所示；

当B在第四象限，x－y＝2，

∴y＝x－2，图象如图所示；

（3）①当－(x－h)2+5＝1时，x＝h+4或x＝h－4，

当时，即或时，2≤L(AB)≤4,

当时，即或时，2≤L(AB)≤4,

故h的取值范围为：或或或；

②∵是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

又∵L(AB)=AC+BC，且2≤L(AB)≤4，

∴1≤AB≤2，1≤BC≤2，

∴如图，当抛物线经过B(2，2)时，L(A，B)＝2，此时2＝4a+5，解得a＝，

当抛物线经过B′(3，3)时，L(A，B)＝4，此时3＝9a+5，解得a＝，

当抛物线经过B″(－1，3)时，L(A，B)＝4，此时3＝a+5，解得a＝－2，

观察图象可知，满足条件的a的值为：或．