Question

【题目】如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；

（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+2；（2）；（3）不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形，理由见解析．

【解析】

（1）根据题意可以得到C的坐标，然后根据抛物线过点A、C、D可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据对称轴和图形可以画出相应的图形，然后找到使得四边形EAMN的周长的取得最小值时的点M和点N即可，然后求出直线MN的解析式，然后直线MN与x轴的交点即可解答本题；

（3）根据题意作出合适的图形，然后根据平行四边形的性质可知EH＝FP，而通过计算看EH和FP是否相等，即可解答本题．

解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，

∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，

∴AO＝AE，

∵A（0，2），

∴E（2，2），

∴点C（4，2），

设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，

∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，

∴，得，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；

（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x轴于点M，交线段BC于点N．

根据对称与最短路径原理，

此时，四边形AMNE周长最小．

易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．

设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，

，得，

∴直线A1E1的解析式为．

当y＝0时，x＝3，

∴点M的坐标为（3，0）．

∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，

∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；

（3）不存在．

理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．

易得直线OE的解析式为y＝x，

∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，

∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），

设直线FP的解析式为y＝x+b，

将点F代入，得，

∴直线FP的解析式为．

，

解得或，

∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，

，

解得，或，

∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，

∴点H的坐标为（，），

∴OH＝×＝，

易得，OE＝2，

EH＝OE﹣OH＝2﹣ ＝，

∵EH≠FP，

∴点P不符合要求，

∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．