Question

有四边形ABCD（任意），AD与BC的延长线交于D点，E、F分别为AC、BD的中点，连接EF、FP、EP，则S_{四边形ABCD}=

 

S_△PFE．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：由E为AC的中点可得到S_△PCE=

1

2

S_△PAC，S_△FCE=

1

2

S_△FAC．由F为BD的中点可得S_△ADF=

1

2

S_△ABD，S_△CBF=

1

2

S_△CBD，S_△PBF=

1

2

S_△PBD，S_△CBF=

1

2

S_△CBD．然后由S_△PEF=S_△PFC-S_△PEC-S_△FCE就可得到S_△PEF与S_{四边形ABCD}的关系，从而解决问题．

解答：解：∵E为AC的中点，
∴S_△PAE=S_△PCE=

1

2

S_△PAC，S_△FAE=S_△FCE=

1

2

S_△FAC．
∵F为BD的中点，
∴S_△ADF=S_△ABF=

1

2

S_△ABD，S_△CDF=S_△CBF=

1

2

S_△CBD，
S_△PDF=S_△PBF=

1

2

S_△PBD，S_△CDF=S_△CBF=

1

2

S_△CBD．
∴S_△PEF=S_△PFC-S_△PEC-S_△FCE
=S_△PBF+S_△CBF-S_△PEC-S_△FCE
=

1

2

S_△PBD+

1

2

S_△CBD-

1

2

S_△PAC-

1

2

S_△FAC
=

1

2

（S_△PBD+S_△CBD-S_△PAC-S_△FAC）
=

1

2

（S_△AFD+S_△CFD）
=

1

2

（

1

2

S_△ADB+

1

2

S_△CBD）
=

1

4

S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形ABCD}=4S_△PEF．
故答案为：4．

点评：本题主要考查了等积变换，充分运用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决本题的关键．