Question

20．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AD=12，BD=5，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形性质求出AC=BC，EC=DC，再证明∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，根据全等三角形的判定推出即可．
（2）根据全等推出∠CAD=∠CBE，AD=BE=12，再证明∠DBE=90°，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，
∴AC=BC，EC=DC，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠EBC，AD=BE=12，
∵∠CAD=∠EBC=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：ED=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=13．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△ACD≌△BCE和求出∠DBE=90°，难度适中．