Question

17．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．
（1）求证：BD=CE．
（2）BD，CE有什么位置关系？请证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质可得出AB=AC、AD=AE，由∠BAC=∠DAE=90°可得出∠BAD=∠CAE，由此即可证出△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=CE；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABC=∠ACB=45°，根据全等三角形的性质可得出∠ACE=∠ABC=45°，进而即可得出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即BD⊥CE．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE．
∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠CAE，
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE．
（2）BD⊥CE．
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△CAE；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质找出∠ACB=∠ACE=45°．