Question

如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则（　　）

• A、S_n=

  1

  4n

  S_△ABC
• B、S_n=

  1

  n+3

  S_△ABC
• C、S_n=

  1

  2(n+1)

  S_△ABC
• D、S_n=

  1

  (n+1)2

  S_△ABC

Answer 1

分析：首先证明

AC

CEn

构成等差数列，而

AC

CE1

=2，故

AC

CEn

=2+1•（n-1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．

解答：解：∵S_△BDnEn=

1

2

S_△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D₁E₁•CEn•

D1E1

CE1

，而D₁E₁=

1

2

BC，CE1=

1

2

AC，
∴S_△BDnEn=

1

2

•

1

2

BC•

CEn

1 2 AC

•CEn=

1

2

BC•CEn

AC

•CEn=

1

2

BC•AC[

CEn

AC

]²
=S_△ABC•[

CEn

AC

]²，
延长CD₁至F使得D₁F=CD₁，
∴四边形ACBF为矩形．
∴

CEn

AC

=

DnEn

AF

=

CEn-1 CEn-1 +BF

AF

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
对于

CEn

AC

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
两边均取倒数，
∴

AC

CEn

=1+

AC

CEn

，
即是

AC

CEn

-

AC

CEn-1

=1，
∴

AC

CEn

构成等差数列．
而

AC

CE1

=2，
故

AC

CEn

=2+1•（n-1）=n+1，
∴S_△BDnEn=S_△ABC•[

CEn

AC

]²，
则S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故选D．

点评：本题主要考查了三角形面积的计算，正确证明

AC

CEn

构成等差数列是解题关键．