Question

17．如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是$\widehat{BC}$的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；
（2）过O作OF垂直于AC，利用垂径定理得到F为AC中点，再由四边形OFED为矩形，求出FE的长，由AF+EF求出AE的长即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵D为$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BOD=∠BAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥AC，
∵AC=10，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED为矩形，
∴FE=OD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=12，
∴FE=6，
则AE=AF+FE=5+6=11．

点评 此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．