如图放置的两个正方形.大正方形ABCD边长为a.小正方形CEFG边长为b.M在BC边上.且BM=b.连接AM.MF.MF交CG于点P.将△ABM绕点A旋转至△ADN.将△MEF绕点F旋转至△NGF.给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND,②CP=b-$\frac{{b}^{2}}{a}$,③△ABM≌△NGF,④S四边形AMFN=a2+b2,⑤A.M.P.D四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b-$\frac{{b}^{2}}{a}$；③△ABM≌△NGF；④S_{四边形AMFN}=a²+b²；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析 ①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；
②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b-$\frac{{b}^{2}}{a}$；故②正确；
③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；
④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S_{四边形AMFN}=AM²=a²+b²；故④正确；
⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．

解答解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，
∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴$\frac{PC}{EF}=\frac{CM}{ME}$，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，
∴EF=b，CM=a-b，ME=（a-b）+b=a，
∴$\frac{PC}{b}=\frac{a-b}{a}$，
∴CP=b-$\frac{{b}^{2}}{a}$；故②正确；
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=NG=a}\\{∠B=∠NGF=90°}\\{GF=BM=b}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NGF；故③正确；
④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a²+b²=AM²，
∴S_{四边形AMFN}=AM²=a²+b²；故④正确；
⑤∵四边形AMFN是正方形，
∴∠AMP=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
故选D．