Question

19．如图1，所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其角平分线，过D的直线B₁C₁⊥AC于C₁，交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究：$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$•$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$是否成立？
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=$\frac{40}{3}$，E为AB上一点，且AE=5，CE交△ABC的角平分线AD于F，试求$\frac{DF}{FA}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，则AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$；
（2）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{8}{\frac{40}{3}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{EF}{FC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{8}$，又$\frac{AE}{EB}$=$\frac{5}{\frac{40}{3}-5}$=$\frac{3}{5}$，则有$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AE}{EB}$，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有$\frac{DF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{5}{8}$．

解答 解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$；
（2）如图
，
连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{8}{\frac{40}{3}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{EF}{FC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{8}$，
又∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{5}{\frac{40}{3}-5}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AE}{EB}$，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．