Question

3．已知方程x²-5x+1=0，求：
（1）x+$\frac{1}{x}$的值；
（2）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；
（3）x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）在已知方程的两边同时除以x，然后来求x+$\frac{1}{x}$的值；
（2）通过求（x+$\frac{1}{x}$）²来求x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；
（3）利用完全平方公式的变形公式进行解答．

解答 解：（1）在x²-5x+1=0的两边同时除以x，得x-5+$\frac{1}{x}$=0，
所以x+$\frac{1}{x}$=5；

（2）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=5²-2=23；

（3）（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=25-4=21，
所以x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解．找出x+$\frac{1}{x}$、x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$、x-$\frac{1}{x}$间的关系是解题的关键．