Question

11．a、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的实数根（a＞b）．若在直角坐标系xOy中，x轴上的动点P（x，0）到定点M（a，5），N（b，1）的距离分别是MP和NP，当点P的横坐标的值是-$\frac{11}{3}$时，MP+NP的值最小？

Answer 1

分析 解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9求得a、b，得到M（-2，5），N（-4，1），作N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于P，此时PM+PN的值最小，根据N的坐标得到N′的坐标，然后根据待定系数法求得直线MN′的解析式，令y=0，则3x+11=0，即可求得点P的横坐标．

解答 解：解方程3-x=$\frac{8}{x}$+9，得x₁=-2，x₂=-4，
∵a、b是方程3-x=$\frac{8}{x}$+9的实数根（a＞b）．
∴a=-2，b=-4，
∴M（-2，5），N（-4，1），如图，

作N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于P，此时PM+PN的值最小，
∵N（-4，1），
∴N′（-4，-1），
设直线MN′的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=11}\end{array}\right.$，
∴直线MN′的解析式为y=3x+11，
令y=0，则3x+11=0，
解得x=-$\frac{11}{3}$．
故答案为-$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了分式方程的解，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，确定P的位置是解题的关键．