Question

已知，直线y=-

2

3

x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S_△ABC；
（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B两点的坐标，利用勾股定理得到AB的长，等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底边BO=2，BO边上的高为P点的横坐标1，所以它的面积是一个常数1；
（3）实际上给定△ABP的面积，求P点坐标．利用面积和差求△ABP的面积，注意要分类讨论．

解答：解：（1）令y=-

2

3

x+2中x=0，得点B坐标为（0，2）；
令y=0，得点A坐标为（3，0）．
由勾股定理可得|AB| =

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，
所以S_△ABC=6.5；

（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=2为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=1为常数；

（3）当点P在第四象限时，
因为S△ABO=3， S△APO=-

3

2

a，S_△BOP=1，
所以S△ABP=S△ABO+S△APO-S△BOP=S△ABC=

13

2

，
即3-

3

2

a-1=

13

2

，解得a=-3，
当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=3，S_△APO=

3

2

a，S_△BOP=1，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△AOP-S_△ABO=

13

2

，
即1+

3

2

a-3=

13

2

，
用类似的方法可解得a=

17

3

．

点评：掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；会用坐标表示线段；掌握用面积的和差表示不规则图形的面积．