题目内容

已知直线l1：y=
3
x与直线l2：y=-(2+
3
)x+b相交于点B（2
3
，2），且直线l2与x轴相交于点A．
（1）求A点的坐标；
（2）点C在线段AB上，过C点作CD∥OB，交x轴于D点，已知以线段CD为直径的⊙M与直线l1相切．
①求⊙M的半径r；
②若把△OAB绕着原点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，在y轴上是否存在一点P，使得⊙P与⊙M、以OA'为直径的⊙N都相切？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：本题先由两直线相交于点B，求出b值，进而求出点A的坐标．（2）问中要根据题意画出图形，按照直线与圆的几种位置关系列出关系式求解．
解答：精英家教网解：（1）依题意可知：
y=-2（2+
3
）×2
3
+b，
解得：b=8+4
3
；
∴直线l2：y=-（2+
3
）x+8+4
3
．
由y=0得：0=-（2+
3
）x+8+4
3
，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①设点M到直线l1的距离为d，过点A作AE⊥l1于点E；
在Rt△AOE中，AE=
1
2
，OA=2，
∵CD∥l1，
∴
2-d
2
=
2r
4
，
∴d=2-r；
∵OM与l1相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+
3
2
，
1
2
），
设⊙P的半径为R，
根据两圆相切的性质可得：
（一）当⊙P与⊙M、⊙N都外切时，得：
（R+1）2=（2+
3
2
）2+（R+
1
2
）2，解得R=4+2
3
，精英家教网
∴P1（0，-4-2
3
），
（二）当⊙N、⊙M都与⊙P内切时，得：
（R-1）2=（2+
3
2
）2+（R-
1
2
）2，
解得R=
16
5
+
2
5
3
＜4
∴P2（0，
4
5
-
2
5
3
）；
综上所述，满足条件的P点的坐标为P1（0，-4-2
3
），P2（0，
4
5
-
2
5
3
）．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知直线l1：y=2x+3，直线l2：y=-x+5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
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（2013•济南）已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（　　）
如图，已知直线l1：y1=k1x+b1和直线l2：y2=k2x+b2相交于点（1，1）．请你根据图象所提供的信息回答下列问题：
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（2）写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件；
（3）根据图象直接写出当0≤y1≤y2时x的取值范围．
如图，已知直线l1，l2和△ABC，且l1⊥l2于点O．点A在l1上，点B、点C在l2上．
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（2）作△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1关于直线l2对称．
（3）△ABC与△A2B2C2有什么样的关系？
阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知一次函数y=-2x的图象为直线l1，求过点P（1，4）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式，并在坐标系中画出直线l1和l2的图象；
（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l1和l2两平行线之间的距离OC的长；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．

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