Question

如图1，正△ABC和正△FDE，F与B重合，AB与FD在一条直线上．
（1）若将△FDE绕点B旋转一定角度（如图2），试说明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=2

3

，把图1中的△FDE绕点B逆时针方向旋转90°（如图3），试判断四边形EBDC的形状，并说明你的理由；
（3）若把图1中的正△FDE沿BA方向平移（如图4），连接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的边长分别是5cm和2

3

cm，问在平移过程中，△ABE是否会成为等腰三角形？若能，直接写出FB的值；若不能，说明理由．       

Answer 1

分析：（1）利用“SAS”证明AE、CD所在的三角形△ABE≌△CBD即可；
（2）设DE，BC交于O点，△FDE绕点B逆时针方向旋转90°时，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，则∠DBC=30°=∠EBC，由等边三角形的性质可知BC垂直平分DE，解直角三角形求BO，证明DE垂直平分BC即可；
（3）会．根据运动过程中，△ABE为等腰三角形时，分AB=BE，BE=AE，AE=AB三种情况分别求解．

解答：证明：（1）如图2，
∵AB=BC，∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-∠EBC=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD，
∴CD=AE；

解：（2）四边形EBDC为菱形．
理由：如图3，设DE，BC交于O点，
∵△FDE绕点B逆时针方向旋转90°时，∠DBA=90°，又∠CBA=60°，
∴∠DBC=30°=∠EBC，∴BC垂直平分DE，
在Rt△DBO中，BO=BD•cos30°=2

3

×

3

2

=3=

1

2

AB，
∴DE垂直平分BC，
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，
∴四边形EBDC为菱形；

（3）△ABE会成为等腰三角形，此时FB=1+

3

或2.5+

3

或9+

3

或4+

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，旋转、平移的性质．关键是根据两个等边三角形的特殊性，证明全等三角形，解直角三角形．