Question

2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，DC的中点，
（1）如果OE=$\frac{5}{2}$，EF=3，求菱形ABCD的周长和面积；
（2）连接OF，猜想：四边形OEDF是什么特殊四边形？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理易求AB，AC的长，进而可求出菱形的周长，再求出AC的长即可求出菱形的面积；
（2）猜想：四边形OEDF是菱形，利用已知条件证明OE=OF=DF=DE即可．

解答 解：
（1）∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，DC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵OE=$\frac{5}{2}$，EF=3，
∴AB=5，AC=6，
∴菱形ABCD的周长=4×5=20；
∵AO=$\frac{1}{2}$AC=3，AB=5，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=24；
（2）猜想：四边形OEDF是菱形，理由如下：
∵点O，E分别是AC，AD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，
同理可得OF=$\frac{1}{2}$AD，DE=$\frac{1}{2}$AD，DF=$\frac{1}{2}$CD，AC=CD，
∴OE=OF=DF=DE，
∴四边形OEDF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，熟记菱形的各种判定方法和各种性质是解题关键．