Question

10．如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴相交于点A（-1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求该函数的表达式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．
①求线段PQ的最大值；
②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，然后写出抛物线解析式；
（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），则M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），用t表示出PM=-$\frac{1}{2}$t²+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t，然后利用二次函数的性质解决问题；
②讨论：当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，
则PC=PM，利用两点间的距离公式得到t²+（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-2）²=（-$\frac{1}{2}$t²+2t）²，然后解方程求出t得到此时P点坐标．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
即y=ax²-3ax-4a，
则-4a=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，则C（0，2），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，2），B（4，0）得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），则M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∵∠NBM=∠NPQ，
∴△PQM∽△BOC，
∴$\frac{PQ}{OB}$=$\frac{PM}{BC}$，即PQ=$\frac{4×PM}{2\sqrt{5}}$，
∴PQ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2）²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴当t=2时，线段PQ的最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，
此时PC∥OB，点P和点C关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，
∴此时P点坐标为（3，2）；
当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，
∵∠OBC=∠NPQ，
∴∠CPQ=∠MPQ，
而PQ⊥CM，
∴△PCM为等腰三角形，
∴PC=PM，
∴t²+（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-2）²=（-$\frac{1}{2}$t²+2t）²，
解得t=$\frac{3}{2}$，
此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；能利用分类讨论的思想解决数学问题．