Question

6．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式．

解答 解：（1）由OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，得
AH=4．即A（-4，3）．
由勾股定理，得
AO=$\sqrt{O{H}^{2}+A{H}^{2}}$=5，
△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；
（2）将A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），得
k=-4×3=-12，
反比例函数的解析式为y=$\frac{-12}{x}$；
当y=-2时，-2=$\frac{-12}{x}$，解得x=6，即B（6，-2）．
将A、B点坐标代入y=ax+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=3}\\{6a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．