Question

6．阅读下面的材料：
解方程x⁴-7x²+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x²=y，则x⁴=y²，∴原方程可化为：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，当y=3时，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，当y=4时，x²=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=2，x₄=-2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x²+x）²-5（x²+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，试求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）设y=x²+x，则由已知方程得到：y²-5y+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程；
（2）设x=a²+b²，则由已知方程得到：x²-3x-10=0，利用因式分解法求得该方程的解即可．

解答 解：（1）设y=x²+x，则y²-5y+4=0，
整理，得
（y-1）（y-4）=0，
解得y₁=1，y₂=4，
当x²+x=1即x²+x-1=0时，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
当当x²+x=4即x²+x-4=0时，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；
综上所述，原方程的解为x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，x_3，4=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；

（2）设x=a²+b²，则x²-3x-10=0，
整理，得
（x-5）（x+2）=0，
解得y₁=5，y₂=-2（舍去），
故a²+b²=5．

点评 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．