题目内容

5．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援，伤员在C处，直升机在A处，伤员离云梯（AP）150米（即CP的长）．伤员从C地前往云梯的同时，直升机受到惯性的影响又往前水平行进50米到达B处，此时云梯也移动到BQ位置，已知∠ACP=30°，∠APQ=60°，∠BQI=43°．问：伤员需前行多少米才能够到云梯？（结果保留整数，sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93，$\sqrt{3}$≈1.73）

分析 根据三角形的外角的性质求得∠CAP的度数，证明△ACP是等腰三角形，则AP=CP=150米，作AE⊥CP，BF⊥CP分别于点E、F，在直角△APE中利用三角函数求得PE和AE的长，然后在直角△BQF中利用三角函数求得QF的长，根据CQ=CP+PQ=CP+PE+EF-QF即可求解．

解答 解：作AE⊥CP，BF⊥CP分别于点E、F．
∵∠APQ=∠C+∠CAP，
∴∠CAP=∠APQ-∠ACP=60°-30°=30°，
∴∠ACP=∠CAP，
∴AP=CP=150（米），
在直角△APE中，AE=AP•sin∠APE=150×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=75$\sqrt{3}$（米），
PE=AP•cos∠APE=150×cos60°=75（米）．
∵在直角△BQF中，BF=AE=75$\sqrt{3}$米．
tan∠BQF=$\frac{BF}{QF}$，
∴QF=$\frac{BF}{tan∠BQF}$=$\frac{75\sqrt{3}}{tan43°}$．
∴则CQ=CP+PQ=CP+PE+EF-QF=150+75+50-$\frac{75\sqrt{3}}{tan43°}$=150+125-$\frac{75\sqrt{3}}{tan43°}$≈275-$\frac{75×1.73}{0.93}$≈275-139.5≈136（米）．
答：伤员需前行136米才能够到云梯．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转化为直角三角形的计算，理解CQ=CP+PQ=CP+PE+EF-QF是关键．

练习册系列答案
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