Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，M、N分别是边AB、AC的中点，在射线MN上取点D，使∠ADM=∠BAC，连接AD．
（1）如图1，当BC=3时，求DM的长．
（2）如图2，以AB为底边在AB的左侧作等腰△ABE，并且使顶角∠AEB=2∠BAC，连接EM．
①判断四边形AEMD的形状，并说明理由．
②设BC=x（x＞0），四边形AEMD的面积为y，试用含x的式子表示y，并说明是否存在x的值，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△MAN∽△ADN，可得$\frac{AN}{DN}$=$\frac{MN}{AN}$，由此求出DN即可解决问题；
（2）①结论：四边形AEMD是平行四边形．分别证明EM∥AD，AE∥DM即可；
②由△MAN∽△ADN，可得$\frac{AN}{DN}$=$\frac{MN}{AN}$，即$\frac{3}{DN}$=$\frac{\frac{x}{2}}{3}$，求出DN，即可解决问题．利用反证法证明不存在x的值，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积；

解答 解：（1）如图1中，

∵AM=MB，AN=NC，
∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴∠ANM=∠C=90°，
∴∠AMN+∠MAN=90°，
∵∠MAN=∠D，
∴∠AMN+∠D=90°，
∴∠MAD=90°，
∵∠ANM=∠AND=90°，∠MAN=∠D，
∴△MAN∽△ADN，
∴$\frac{AN}{DN}$=$\frac{MN}{AN}$，
∴$\frac{3}{DN}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$，
∴DN=6，
∴DM=MN+DN=$\frac{3}{2}$+6=$\frac{15}{2}$．

（2）①如图2中，结论：四边形AEMD是平行四边形．

∵EA=EB，AM=BM，
∴EM⊥AB，∠MEB=∠MEA，
由（1）可知AD⊥AB，
∴EM∥AD，
∵∠AEM+∠EAM=90°，
∵∠AEB=2∠BAC，
∴∠AEM=∠BAC，
∴∠BAC+∠EAM=90°，
∴∠EAC=90°=∠MNC，
∴AE∥DM，
∴四边形AEMD是平行四边形．

②∵△MAN∽△ADN，
∴$\frac{AN}{DN}$=$\frac{MN}{AN}$，
∴$\frac{3}{DN}$=$\frac{\frac{x}{2}}{3}$，
∴DN=$\frac{18}{x}$，
∴DM=MN+DN=$\frac{x}{2}$+$\frac{18}{x}$，
∴S_{四边形AEMD}=DM•AN=（$\frac{x}{2}$+$\frac{18}{x}$）•3=$\frac{3}{2}$x+$\frac{54}{x}$．
假设存在x，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积，
则有$\frac{3}{2}$x+$\frac{54}{x}$=$\frac{1}{2}$•x•6，
整理得x²-2x+36=0，
∵△=（-2）²-4×1×36＜0，
∴方程无解，假设不成立．
∴不存在使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积的x的值．

点评 本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用反证法解决问题，属于中考压轴题．