Question

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠A=90°，点B的坐标为（2，0），点E是AB的中点，点C坐标为（-2，0），连接CE交AO于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）试探索S_△CDO与S_△ADE的关系，并说明理由；
（3）求S_{四边形OBDE}的面积．

Answer 1

分析 （1）先由等腰直角三角形性质得出点A（1，1），由中点坐标得点E（1.5，0.5），利用待定系数法求直线CD的解析式；
（2）作辅助线，构建两三角形的高线AF和EG，可以得出S_△BEC=S_△ABO，则根据等式的性质得出S_△COD=S_△ADE；
（3）先求交点D的坐标，再根据面积差求四边形OBDE的面积．

解答 解：（1）∵B的坐标为（2，0），
∴OB=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴A（1，1），
∵点E是AB的中点，
∴E（1.5，0.5），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
把C（-2，0）、E（1.5，0.5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{1.5k+b=0.5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为：y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{2}{7}$；
（2）S_△CDO=S_△ADE，理由是：
过A作AF⊥OB于F，过E作EG⊥OB于G，则EG∥AF，
∵E是AB的中点，
∴G是BF的中点，
∴AF=2EG，
∵B（2，0）、C（-2，0），
∴BC=2OB，
∵S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC×EG=$\frac{1}{2}$×2OB×EG=OB×EG，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$OB×AF=$\frac{1}{2}$OB×2EG=OB×EG，
∴S_△BEC=S_△ABO，
∴S_△BEC-S_{四边形OBED}=S_△ABO-S_{四边形OBED}，
∴S_△COD=S_△ADE；
（3）直线OA的解析式为：y=x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{7}x+\frac{2}{7}}\end{array}\right.$    解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则S_{四边形OBED}=S_△BEC-S_△CDO=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，同时将方程组与函数相结合可以求出点的坐标，对于证明两个三角形面积相等时，除了利用公式直接计算面积外，还可以利用等式的性质转化为证明另外两个三角形的面积相等．