Question

如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B、C、E在一直线上．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若M、N分别为BD和AE的中点，求证：CM=CN．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由△ABC和△DCE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB=AC=BC，DC=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性质得到一对夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由△ACE≌△BCD，得到AE=DB，且∠MDC=∠NEC，根据M、N分别为中点得到DM=NE，利用SAS得到△DMC≌△ENC，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，DC=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠DCB=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

DC=CE ∠DCB=∠ACE CB=CA

，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）连接CM，CN，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠MDC=∠NEC，
∵M、N分别为BD、AE中点，
∴DM=EN，
在△DMC和△ENC中，

MD=NE ∠MDC=∠NEC DC=EC

，
∴△DMC≌△ENC（SAS），
∴MC=NC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．