Question

【题目】如图，已知内于，为的直径，，交的延长线于点．

（1）为的中点，连接，求证：是的切线；

（2）若，求的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠A=30°．

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠1，根据三角形的中位线的性质得到OE∥AD，得到∠2=∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切线；
（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2=ACCD，得到tan∠A=，于是得到结论．

（1）连接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E为BD的中点，
∴OE∥AD，
∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE与△BOE中，

，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠ABD=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴BC2=ACCD，
∵AC=3CD，
∴BC2=AC2，
∴tan∠A=，
∴∠A=30°．